LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Oleh M. Yusuf (Guru MTK SMA Negeri 3 Singkawang)

Limit dalam contoh berikut akan memainkan peran penting, yakni :

Contoh : Tunjukkan bahwa

Disini menunjukkan sinus sebuah sudut dalam radian, bukan dalam derajat. Sebagai gambaran dapat ditunjukkan melalui tabel berikut.

(derajat)	(radian)	Sin	Cos	Tan
0^0	0	0	1	0
30^0
45^0				1
60^0
90^0		1	0

Penyelesaian :

Gunakan kalkulator untuk menghitung nilai dari contoh diatas melalui tabel berikut.

(nilai dibulatkan )

1,0 0,84147

0,1 0,99833

0,01 0,99998

0,001 1,00000

0,0001 1,00000

Tabel ini sangat menarik bahwa limit dari adalah 1 untuk .Penyelesaian diatas berdasarkan pendekatan secara tidak formal. Pendekatan berikut dilakukan dengan cara formal. Untuk membuktikan itu, kita periksa gambar berikut.

yang mana menunjukkan bahwa

luas (OPQ) < luas (sektor OPR) < luas ( ORS ).

Dalam hubungan , ini artinya bahwa

< < ,

Menggunakan fakta bahwa luas sektor bundar dalam sebuah lingkaran dengan radius r adalah L = jika sektor itu dilengkungkan oleh sudut radian ( disini, kita memiliki ). Kita bagi setiap anggota pertidaksamaan diatas dengan , dan menghasilkan

.

Kita ambil kebalikan, yang mana membalik pertidaksamaan, dan kemudian

Sekarang kita mempergunakan penekanan sifat dengan

, , dan .

Sebab itu jelas ( mengapa ? ) bahwa untuk , dan mendekati 1, jadi

. Pernyataan ini secara geometrik menunjukan bahwa 1 untuk nilai positif dari mendekati nol. Tetapi mengikuti hasil sama untuk nilai negatif dari karena

.

Dari uraian diatas dapat diturunkan teorema :

1*. Untuk fungsi cosinus berlaku

2*. Untuk fungsi tangen berlaku

Masalah:

Dalam masalah 1 – 5, temukan limit diberikan

1.

2.

3.

4.

5.